효용곡면과 무차별지도에 대해 간단히 알아보기

효용이란 어떤 물건의 한 단위의 증가로 얻을 수 있는 만족감을 의미한다. 예를 들어 산신령이 나무꾼에게 금도끼와 은도끼 중 어느 것을 받을지 고르라고 한다면 대부분 금도끼를 선택할 것이다. 도끼를 팔지 않고 진짜로 도끼를 사용하는 목적으로의 만족감 은도끼가 더 좋을 수도 있지만 대부분 도끼를 받자마자 팔아버릴 것이므로 ㅎㅎ;; 파는 경우에는 금도끼가 비싸므로 금도끼 효용이 높을 것이다. 위의 예처럼 공짜로 받는 경우가 아닌 물건을 구입하는 경우에는 어떤 물건이 효용이 더 높은 이유로는 가격 대비 재질이 더 좋다거나 가격은 같더라도 기능이 편리하던지 등의 이유가 존재할 것이다. 사람은 보통 두개의 물건 중 하나의 물건을 선택하는 것이 아닌 한정된 예산(월급 등)에서 어떤 물건의 조합이 자신의 삶에 최대 효용을 가져올 것인지를 선택해야 한다. 

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효용곡면과 효용함수

예를 들어 한달 동안 스테이크(5만원)와 책(2만원)을 정해진 월급 50만원 내에서 구입해야 한다고 할 때 스테이크와 책을 각각 몇개를 구입해야 최대의 만족감 얻을 수 있는지 등을 선택하게 된다. 이를 그래프로 그리면 3차원 그래프로 표현하는 것이 가능하다. x축은 스테이크를 먹은 횟수, y축은 책을 구입한 횟수, z축은 xy축에 따른 만족감의 정도(효용)이다. 실제로는 더 많은 물건일 고려해야 하지만 더 많은 물건을 고려한다는 것은 다차원 그래프를 그려야 하는데 이는 너무 복잡해져 버린다. 하여간 이런 그래프를 효용곡면이라고 부르며 각 물건의 한 단위 증가가 주는 효용을 효용함수라고 한다. 

무차별곡선과 무차별지도 그리고 한계대체율

이 3차원의 그래프를 2차원으로 압축할 수 있는데 xy축은 그대로 두고 지도의 등고선이 고도가 같은 지점을 2차원에 표시하듯 2차원 그래프에 효용이 같은 지점을 선으로 연결하는 것으로 이 선은 무차별곡선, 이렇게 3차원을 2차원으로 압축해서 표시한 것을 무차별지도라고 부른다. 이 무차별 곡선 위의 한 점에서의 기울기는 한계대체율이라고 하는데 기울기가 dy/dx를 나타내므로 즉 dx만큼 스테이크 먹는 횟수를 줄이고(혹은 늘리고) dy만큼 책을 구입한 횟수를 늘려도(혹은 줄여도) 동일한 만족감을 얻을 수 있다는 것을 의미한다.